탈중앙화 금융(DeFi) 실전 수학: 유동성 공급(LP)과 비영구적 손실(IL) 리스크 헷징 모델

서론: “연이율(APY) 100%의 환상 뒤에 숨겨진 치명적 수학”

탈중앙화 금융(DeFi) 풀에 자금을 예치할 때 초보 투자자들은 표시된 세 자릿수 APY에만 눈이 멉니다. 그러나 몇 달 뒤 계좌를 확인해 보면, 분명 높은 이자를 받았음에도 불구하고 그냥 지갑에 가만히 들고 있었을 때(HODL)보다 총자산 가치가 오히려 줄어들어 있는 충격적인 경험을 하게 됩니다.

이 현상의 주범이 바로 자동화 마켓 메이커(AMM) 시스템의 고유한 수학적 결함인 **‘비영구적 손실(Impermanent Loss, IL)’**입니다.

본 칼럼에서는 유니스왑의 가격 결정 알고리즘과 비영구적 손실의 엄밀한 계산 공식을 도출하고, 전문 디파이 퀀트들이 사용하는 손실 헤징 모델을 공개합니다.

1. AMM 불변식(x * y = k)과 비영구적 손실의 수학적 도출

유니스왑 v2의 핵심 원리는 풀 내부 두 토큰의 수량 곱이 항상 일정하게 유지되어야 한다는 것입니다.

x × y = k (x: 토큰 A 수량, y: 토큰 B 수량, k: 상수)

만약 외부 시장에서 토큰 A의 가격이 급등하면, 차익거래자(Arbitrageur)들이 풀로 들어와 저평가된 토큰 A를 사 가고 비싼 토큰 B를 풀에 밀어 넣습니다. 그 결과 유동성 공급자의 지갑에는 가격이 오른 토큰 A는 줄어들고, 가격이 상대적으로 떨어진 토큰 B의 수량만 가득 차게 됩니다.

비영구적 손실 산출 공식

가격 변동 비율을 $r$ ($r = P_{new} / P_{old}$)이라 할 때, 단순 보유 대비 유동성 공급의 가치 비율은 다음과 같습니다:

$$\text{IL}(r) = \frac{2\sqrt{r}}{1 + r} - 1$$

가격 변동폭 ($r$)	비영구적 손실률 ($\text{IL}$)	수수료로 상쇄해야 할 최소 요구 수익
1.25배 상승 (+25%)	-0.6%	거래 수수료 연 3% 이상이면 손실 만회 가능
1.50배 상승 (+50%)	-2.0%	거래량이 풍부한 블루칩 풀에서 극복 가능
2.00배 상승 (+100%)	-5.7%	수수료 누적액이 상당하지 않으면 HODL 대비 큰 손실
3.00배 상승 (+200%)	-13.4%	극단적인 변동성 풀에서는 확정적 자본 손실 발생
5.00배 상승 (+400%)	-25.5%	그냥 들고 있는 것보다 자산이 1/4 토막 남

2. 집중화 유동성(Uniswap v3/v4)의 자본 효율성과 위험성

Uniswap v3는 $0 \sim \infty$ 전체 구간에 유동성을 분산하는 대신, 특정 가격 범위($[P_a, P_b]$)에만 자본을 집중시키는 틱(Tick) 시스템을 도입했습니다.

장점: 자본 효율성을 최대 4,000배까지 끌어올려 엄청난 수수료를 수취할 수 있습니다.
위험성: 가격이 내가 설정한 범위를 벗어나는 순간, 가치가 폭락한 단 1개의 토큰으로 100% 강제 환전되며 수수료 수취가 완전히 중단됩니다.

3. 프로들의 델타 뉴트럴(Delta-Neutral) 헷징 전략

스마트 머니는 비영구적 손실을 방치하지 않습니다.

Aave에서 변동성 자산(ETH)을 담보로 빌려 숏(Short) 포지션을 구축합니다.
동시에 Uniswap 풀에 ETH-USDC 유동성을 공급합니다.
ETH 가격이 오르거나 내리더라도 선물 숏 포지션과 LP 포지션의 델타가 상쇄되어, 오직 순수 스왑 수수료(Trading Fees)만을 무위험 차익으로 수취합니다.

결론: 복잡한 상품일수록 수식을 검증하라